Question

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）．
（1）若动点M满足=0，求动点M的轨迹Q；
（2） F₁，F₂是轨迹Q的左、右焦点，过F1作直线l（不与x轴重合），l与轨迹Q相交于C，D，并与圆x²+y²=3相交于E，F．当，且λ∈[，1]时，求△F₂CD的面积S的取值范围．

Answer

（1）由题意直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，利用导数的几何含义得到直线的方程，进而求出点A的坐标，利用动点M满足=0，利用求动点轨迹的直接法即可求解；
（2）由题意设出直线l的方程，把它与椭圆及已知的圆的方程方程进行联立，利用根与系数的关系整体代换得到△F2CD的面积用t表示的函数式子，有已知的λ的范围得到t的范围，利用求函数值域的方法得到三角形的面积的取值范围．
【解析】
（1）由x2=4y得y=x2，∴y′=x
∴直线l的斜率为y′|2=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A坐标为（1，0），
设M（x，y）则=（1，0），=（x-2，y），=（x-1，y），
由•+||=0得
（x-2）+y•0+•=0
整理，得，
∴动点M的轨迹Q为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，
短轴长为2的椭圆．

（2）设l方程为x=ty-1，E（x1，y1），F（x2，y2）
由得（t2+1）y2-2ty-2=0

=（ty1-2）（ty2-2）+y1y2
=（t2+1）y1y2-2t（y1+y2）+4
=，
由得t2∈．
由得（t2+2）y2-2ty-1=0设C（x3，y3），D（x4，y4）．
则，
设m=t2+1，则，m∈
S关于m在上是减函数．所以S∈[，]．