Question

设函数f（x）=-x（x-a）²
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若a＞0，且方程f（x）+a=0有三个不同的实数解，求a的取值范围．

Answer

（1）当a=1时f（x）=-x3+2x2-x，得f′（x）=-3x2+4x-1当x=2时y=-2，得切点为（2，-2）得切线的斜率k=-5
（2）设g（x）=f（x）+a，利用导数判断函数g（x）的单调性求出函数的最值，利用极大值大于0，极小值小于0即可解出参数的范围．
【解析】
（1）当a=1时f（x）=-x3+2x2-x，
所以f′（x）=-3x2+4x-1
当x=2时y=-2，所以切点为（2，-2）
所以切线的斜率k=f′（2）=-5．
所以切线方程为5x+y-8=0．
（2）设g（x）=f（x）+a=-x3+2ax2-a2x+a
所以g′（x）=-3x2+4ax-a2=-（x-a）（3x-a）
令g′（x）＜0得
因为a＞0所以x＞a或x＜
所以g（x）在（-∞，），（a，+∞）是单调减函数，在（，a）上是单调增函数．
因为方程g（x）=0有三个不同的实数解，
所以只需g（）＜0且g（a）＞0即可．
解得
所以a的取值范围为（，+∞）．