Question

若对于定义在R上的连续函数f（x），存在常数a（a∈R），使得f（x+a）+af（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，且阶数为a．
（Ⅰ）试判断函数f（x）=x²是否是一个回旋函数；
（Ⅱ）已知f（x）=sinωx是回旋函数，求实数ω的值；
（Ⅲ）若对任意一个阶数为a的回旋函数f（x），方程f（x）=0均有实数根，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函数，故有：sinw（x+a）+asinwx=0对任意实数x成立，从而可求实数ω的值；
（Ⅲ）分类讨论是关键．a=0时结论显然；当a≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，a）上必有一个实根．
【解析】
（Ⅰ）若（x+a）2+ax2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有a=0
令x=1，则有a2+3a+1=0，显然a=0不是这个方程的解故假设不成立，该函数不是回旋函数．
（Ⅱ）由于f（x）=sinwx是回旋函数，故有：sinw（x+a）+asinwx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinwa=0，令x=，可得coswa=-a，故a=±1，w=kπ（k为整数）
（Ⅲ）如果a=0，显然f（x）=0，则显然有实根．
下面考虑a≠0的情况．
若存在实根x，则f（x+a）+af（x）=0，即f（x+a）=0说明实根如果存在，那么加a也是实根．因此在区间（0，a）上必有一个实根．则：f（0）f（a）＜0
由于f（0+a）+af（0）=0，则f（0）=，只要a＞0，即可保证f（0）和f（a）异号．
综上a≥0