Question

长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，AA₁=4，
（1）说出BD₁与平面ABCD所成角，并求出它的正切值；
（2）指出 二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求证：AC⊥BD₁．

Answer

（1）由长方体的几何特征，我们易得∠D1BD即为BD1与平面ABCD所成角，解Rt△D1BD即可求出BD1与平面ABCD所成角的正切值；
（2）连接BD，交AC于O，易得∠D1OD为二面角D1-AC-D的平面角，解Rt△D1OD即可求出二面角D1-AC-D的平面角的正切值；
（3）由长方体的几何特征，可得DD1⊥AC，DB⊥AC，由线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥面BDD1，再由线面垂直的性质，即可得到AC⊥BD1．
【解析】
（1）BD1与平面ABCD所成角为∠D1BD，（1分）
在Rt△D1BD中，DD1=4，BD=2，（3分）
（2）连接BD，交AC于O，∠D1OD为二面角D1-AC-D的平面角，
在Rt△D1OD中，DD1=4，OD=，（6分）
（3）长方体ABCD-A1B1C1D1中，
∴DD1⊥面ABCD，∴DD1⊥AC
正方形ABCD中，DB⊥AC
DD1∩DB=D
∴AC⊥面BDD1，
∴AC⊥BD1，（8分）