Question

如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．

Answer

（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以有∠AEC=∠ABC，又∠AEC=∠ODB，所以∠ABC=∠ODB，OD⊥弦BC，即∠ABC+∠BOD=90°所以则有∠ODB+∠BOD=90°，即BD垂直与AB，所以BD为切线．
（2）连接AC，由于AB为直径，所以AC和BC垂直，又有（1）知∠ABC=∠ODB，所以有△ACB∽△OBD，而AC可有勾股定理求出，所以根据对应线段成比例求出BD．
证明：（1）直线BD和⊙O相切（1分）
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）

（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴，解得BD=．（10分）