Question

设AB为过抛物线y²=8x的焦点的弦，若A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），，则实数m的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

Answer

欲求实数m的最小值，根据两点间的距离公式知即求焦点弦|AB|的最小值．根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x1+x2，进而根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=8（1+），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．
【解析】
焦点F坐标（ 2，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-2）
联立y2=8x得k2x2-（4k2+8）x+4k2=0
由韦达定理得x1+x2=4+
|AB|=x1+x2+4=8（1+）
因为k=tana，所以1+=1+=
∴|AB|=
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故选C