Question

某学校高三年级有学生1000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该年级的学生中共抽查100名同学．
（Ⅰ）求甲、乙两同学都被抽到的概率，其中甲为A类同学，乙为B类同学；
（Ⅱ）测得该年级所抽查的100名同学身高（单位：厘米）频率分布直方图如右图：
（ⅰ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[160，170）的中点值为165）作为代表．据此，计算这100名学生身高数据的期望μ及标准差φ（精确到0.1）；
（ⅱ）若总体服从正态分布，以样本估计总体，据此，估计该年级身高在（158.6，181.4）范围中的学生的人数．
（Ⅲ）如果以身高达170cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到下列联表：
体育锻炼与身高达标2×2列联表

	身高达标	身高不达标	总计
积极参加体育锻炼	40
不积极参加体育锻炼		15
总计			100

（ⅰ）完成上表；
（ⅱ）请问有多大的把握认为体育锻炼与身高达标有关系？
参考公式：K²=，参考数据：

P（K^2≥k）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer

（1）要求甲、乙两同学都被抽到的概率，我们要根据从学生1000名，抽查100名同学，先计算出甲被抽中的概率，及乙被抽中的概率，然后再根据分步原理求出结果．
（2）按照分层抽样中，样本中的比例与总体中的比例一致，易得表中各项数据的值，然后我们可以根据列联表中的数据，代入公式，计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）甲、乙被抽到的概率均为，
且事件“甲同学被抽到”与事件“乙同学被抽到”相互独立，
故甲、乙两工人都被抽到的概率P=×=
（Ⅱ）（ⅰ）总体数据的期望约为：
μ=145×0.03+155×0.17+165×0.30+175×0.30+185×0.17+195×0.03=170（cm）
标准差σ2=（145-170）2×0.03+（155-170）2×0.17+（165-170）2×0.3
+（175-170）2×0.3+（185-170）2×0.17+（195-170）2×0.03=129
∴σ==11.4
（ⅱ）由于μ=170，σ≈11.4
当身高x∈（158.6，181.4）时，即x∈（μ-σ，μ+σ）
故身高落∈（158.6，181.4）中的概率为0.6826．
故身高落∈（158.6，181.4）中的人数为683人．
（Ⅲ）（ⅰ）
身高达标 身高不达标 总计
积极参加体育锻炼 40 35 75
不积极参加体育锻炼 10 15 25
总计 50 50 100

（ⅱ）K2=≈1.33
故有75%把握认为体育锻炼与身高达标有关系