Question

设椭圆中心在坐标原点，A（2，0），B（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer

（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x，kx），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，进而求得x2的表达式，进而根据求得x的表达式，由D在AB上知x+2kx=2，进而求得x的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．
【解析】
（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x，kx），E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，

且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=4，
故．①
由知x-x1=6（x2-x），得；
由D在AB上知x+2kx=2，得．
所以，
化简得24k2-25k+6=0，
解得或．
（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=-y1＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S△OBE+S△OBF+S△OAE+S△OAF==x2+2y2
===，
当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为．