Question

已知点P（4，4），圆C：（x-m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求直线PF₁的方程；
（2）求椭圆E的方程；
（3）设Q为椭圆E上的一个动点，求证：以QF₁为直径的圆与圆x²+y²=18相切．

Answer

（1）因为A（3，1）在⊙C上，所以，m=1．所以⊙C：（x-1）2+y2=5．设直线PF1方程：y-4=k（x-4），由题设知：，或．由此能求出直线PF1方程．
（2）由F1（-4，0），知F2（4，0），a2-b2=16．由，知，b2=2，由此能求出椭圆E的方程．
（3）设QF1的中点为M，连QF2．=，由此能证明以QF1为直径的圆与圆x2+y2=18相切．
【解析】
（1）因为A（3，1）在⊙C上，
所以，，m=1．
所以，⊙C：（x-1）2+y2=5．（2分）
易知直线PF1的斜率存在，设直线PF1方程：y-4=k（x-4），
即：kx-y+（4-4k）=0
题设有：，
或（4分）
时，直线PF1方程，
令y=0，则，不合题意（舍去）
时，直线PF1方程：x-2y+4=0．
令y=0，则x=-4＜0满足题设．
所以，直线PF1方程为：x-2y+4=0．（6分）
（2）由（1）知F1（-4，0），
所以，F2（4，0），a2-b2=16①（7分）
又
所以，（9分）
所以，b2=2（10分）
椭圆E的方程：．（11分）
（3）设QF1的中点为M，连QF2．
则=（15分）
所以，以QF1为直径的圆内切于圆，
即x2+y2=18．（16分）