Question

如图，边长为2的正方形A₁ACC₁绕直线CC₁旋转90°得到正方形B₁BCC₁，D为CC₁的中点，E为A₁B的中点，G为△ADB的重心．
（1）求直线EG与直线BD所成的角；
（2）求直线A₁B与平面ADB所成的角的正弦值．

Answer

（1）以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线EG与直线BD的方向向量，代入向量夹角公式，即可求出答案．
（2）分别求出直线A1B的方向向量与平面ADB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线A1B与平面ADB所成的角的正弦值．
【解析】
由题设CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC
所以，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），．（2分）
（1），（4分）
所以，
∴
所以，直线EG与直线BD所成的角为．（5分）
（2）（6分），
设为平面ABD的一个法向量
则，
∴
取．（8分）
设A1B与平面ADB所成的角为θ
则．
即：A1B与平面ADB所成的角为正弦值为．（10分）