Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（1）求过点（，1）且被圆截得弦长为的直线方程．
（2）直线 l：y=kx，l与圆C交与A、B两点，点M（0，b）且MA⊥MB当b=1时，求k的值．

Answer

（1）把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，即可得到圆心与已知点连线与弦所在的直线垂直，根据圆心与已知点的纵坐标相同写出连线的方程，显然根据已知点的横坐标即可写出所求直线的方程；
（2）把直线l的方程与圆C的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式大于0，列出关于k的不等式，求出k的范围，根据韦达定理表示出两个之和与两根之积，由M的坐标及A，B的坐标表示出与，由MA⊥MB，得到，利用平面向量的数量积运算化简后，将b=1代入即可得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【解析】
（1）把圆的方程化为标准方程为：（x-1）2+（y-1）2=1，
所以圆心坐标为（1，1），r=1，
根据题意可知：圆心（1，1）与点（，1）的连线与所求直线垂直，
由圆心（1，1）与点（，1）的连线的方程为y=1，
得到所求直线的方程为：；
（2）联立得，
整理得（k2+1）x2-（2k+2）x+1=0，
由△＞0得k＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），又M（0，b），
由韦达定理得：，，
由MA⊥MB得：，即（k2+1）x1x2-kb（x1+x2）+b2=0，
把b=1代入得：1-+1=0，即2k=2，
解得：k=1．