Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（1）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-C₁的平面角的正弦值；
（3）求三棱锥D-CBB₁的体积．

Answer

（1）由已知中CC1⊥平面ABC，由面面垂直的判定定理，即可得到平面C1CD⊥平面ABC；
（2）由已知中等边三角形ABC中，D为AB边中点，则CD⊥AB，又由CC1⊥平面ABC，可得AB⊥C1D，故∠C1DC为二面角C-AB-C1的平面角，解Rt△C1DC，即可得到二面角C-AB-C1的平面角的正弦值；
（3）由已知中CC1⊥平面ABC，CC1∥BB1，BB1⊥平面ABC，求出△ABC的面积，代入棱锥的体积公式，即可得到三棱锥D-CBB1的体积．
【解析】
（1）证明：∵CC1⊥平面ABC，CC1⊂平面C1CD
∴平面C1CD⊥平面ABC
（2）在等边三角形ABC中，D为AB边中点
∴CD⊥AB
∵CC1⊥平面ABC，
AB⊂平面ABC
∴CC1⊥AB又
∵CC1∩CD=C
∴AB⊥平面C1CD，
又∵C1D⊂平面C1CD
∴AB⊥C1D
所以，∠C1DC为二面角C-AB-C1的平面角
在Rt△C1DC中，CC1⊥CD，
∴
所以，二面角C-AB-C1的平面角的正弦值为；
（3）∵CC1⊥平面ABC
CC1∥BB1
∴BB1⊥平面ABC
∴
所以，三棱锥D-CBB1的体积为