Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），且b₁=5．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}的前n项和为T_n，且，证明：．

Answer

（I）结合已知条件可得a1=S1=2．利用地推公式an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=2n，再由bn+1=2bn-1，
得bn+1-1=2（bn-1），由等比数列的定义可得{bn-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．从而可求bn-1进一步可得bn=2n+1+1．
（Ⅱ）由=，利用裂项求和可求先求Tn，进一步可证
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[（n-1）2+（n-1）]=2n．
当n=1时，2n=2=a1． 所以an=2n．（3分）
由bn+1=2bn-1，得bn+1-1=2（bn-1），又b1-1=4≠0，
所以{bn-1}是以4为首项，2为公比的等比数列．
所以bn-1=（b1-1）2n-1=2n+1．
所以bn=2n+1+1．（6分）
（Ⅱ）证明：==．（9分）
故
==（12分）
所以．（13分）