Question

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．

Answer

（Ⅰ）根据每件，又f（x）图象开口向上，得出最大值与最小值，从而求得h（p）并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）对字母p进行分类讨论后写出出h（p）的解析式即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（p）的解析式，结合M-m≥1及取得最值的条件得出，p=0，M=1+q，m=q．最后结合由M=-m得1+q=-q求得q，最后写出所求函数式即可．
【解析】
（Ⅰ），又f（x）图象开口向上，
∴
∴（4分）
（Ⅱ）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有，当且仅当M=-m时取”=”；
又，，当且仅当p=0时取“=”，
∴当时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴
即所求函数为：f（x）=．（13分）