Question

函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是（ ）
A．（4，6）
B．（16，36）
C．（0，16）
D．（16，25）

Answer

本题考查的是函数的性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定函数y=f（x）是定义在R上的增函数，而且是奇函数，则不难求出满足条件实数x，y满足不等式f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，对应的平面区域，分析表达式x2+y2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．
【解析】
∵函数y=f（x-2010）的图象关于点（2010，0）对称
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称
即函数y=f（x）为奇函数，
则f（-x）=-f（x）
则不等式f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0可化为：
f（x2-6x）＜-f（y2-8y+24）=f（-y2+8y-24）
又由函数y=f（x）是定义在R上的增函数
∴x2-6x＜-y2+8y-24
即x2-6x+y2-8y+24＜0
即（x-3）2+（y-4）2＜1
则（x，y）点在以（3，4）为圆心，以1为半径的圆内
而x2+y2表示的是圆内任一点到原点距离的平方
∴（5-1）2=16＜x2+y2＜（5+1）2=36
故选B