Question

函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点为x₁，x₂（x₁≠x₂），且|x₁|+|x₂|=2，则b的最大值是    ．

Answer

先对函数进行求导，根据函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），可以得到△＞0且由韦达定理可得x1+x2，
x1x2，把等式转化为关于x1+x2，x1x2的关系式，求出a、b的关系，把a看成未知数x，求三次函数的最值，利用导数求极值，是b2最大值，开方可求b的最大值．
【解析】
∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
∵函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点为x1，x2（x1≠x2），
∴f'（x）=0有两不等实根x1，x2（x1≠x2），
∴△＞0，∴b2+3a3＞0，恒成立，
∴x1+x2=，x1x2=，∵|x1|+|x2|=2，
∴（|x1|+|x2|）2=x12+x22-2x1x2=（x1+x2）2-4x1x2=8，
∴+=8，∴b2=-3a3+18a2
设t=-3a3+18a2，则t′=-9a2+36a=-9a（a-4）（a＞0），
令t′＞0，得0＜a＜4，t′＜0，得a＞4，
t在（0，4]是增函数，在[4，+∞）是减函数，
∴a=4取得t最大96，∴b2最大值为96，∴bmax=4
故答案为：4．