Question

在数列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2n+1}是等比数列；
（II）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值．

Answer

（I）要证数列{an-2n+1}是等比数列，利用已知条件构造，只要证明即可
（II）由（I）可求an，通过比较an与an-1的大小研究数列的单调性，且通过且a1＜0，a2＜0，a3＞0，可知数列和的最小值
【解析】
（I）∵3an-an-1=4n（n≥2，n∈N*），∴，∴，（4分）
∴an-2n+1是以-15为首项，为公比的等比数列．（6分）
（II）∵，∴，
当n≥2时，，
∴数列an是单调递增数列，且a1＜0，a2＜0，a3＞0，（12分）
∴当且仅当n=2时，Sn的最小值是S2=a1+a2=-14+（-2）=-16．（14分）