Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，点M位于线段PC上，PA∥平面MBD，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明：在△ABD内存在一点N，使MN⊥平面PBD，并求点N到DA，DB的距离．

Answer

（1）连接AC交BD于K，连接MK，则，由PA∥平面MBD，结合直线与平面平行的性质得PA∥MK，利用比例线段即得；
（2）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出各顶点的坐标，在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组，从而得出在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，由点N的坐标得点N到DA，DB的距离即可．
【解析】
（1）连接AC交BD于K，连接MK，则，
由PA∥平面MBD，平面PAC∩平面MBD=MK，
得PA∥MK，∴．（6分）
（2）AD=4，，AB=8，∴DA⊥DB，
如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，则由题意得，D（0，0，0），，，，设点N的坐标为（x，y，0），
则，
因为MN⊥平面PBD，则，，∴，，
即点N的坐标为，（12分）
在平面直角坐标系xoy中，△ABD的内部区域满足不等式组
经检验，点N的坐标满足上述不等式组，
所以在△ABO内存在一点N，使MN⊥平面PBD，
由点N的坐标得点N到DA，DB的距离为，．（14分）