Question

下列关于曲线5x²y²+y⁴=1的描述中：①该曲线是封闭曲线 ②图象关于原点对称③曲线上的点到原点的最短距离为正确的序号是    ．

Answer

把方程化为 y2（5x2+y2）=1，由 y≠0 知曲线不是封闭曲线．把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称．令 t=x2+y2，由基本不等式求得t 的最小值，即可求得曲线上的点到原点的距离  的最小值．
【解析】
曲线5x2y2+y4=1 即 y2（5x2+y2）=1，显然，y≠0．故表示的曲线不是封闭曲线，故①不正确．
把曲线方程中的（x，y ）同时换成（-x，-y ），方程不变，故曲线关于原点对称，故②正确．
令 t=x2+y2，则 x2=t-y2，代入5x2y2+y4=1
化简得t==+≥2=，
故t 的最小值等于．
∴曲线上的点到原点的距离  的最小值为，故③正确．
故答案为  ②③．