Question

如图四棱锥P-ABCD，PC⊥面ABCD，PC=2，面ABCD是边长为1的正方形，E是侧棱PC上的动点．
（Ⅰ） 当点E在什么位置时，AP∥面EBD？并证明；
（Ⅱ） 是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer

（I）令E点为PC的中点，连接AC交BD于O点，连接OE，由三角形中位线法则，易得OE∥PA，结合线面平行的判定定理，即可得到AP∥面EBD，进而得到结论．
（II）连接AC，由正方形对角线互相垂直，则已知中PC⊥面ABCD，我们易得BD⊥AE，BD⊥AC，由线面垂直的判定定理得BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
【解析】
（Ⅰ）当E点为PC的中点时，AP∥面EBD
连接AC交BD于O点，连接OE，
∵O为AC的中点，E为PC的中点
∴OE∥PA
又由OE⊂面EBD，PA⊄面EBD
∴AP∥面EBD
（Ⅱ）不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC．
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC．
∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面PAC．
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE．