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如图,正方形ACDE边长为1且所在的平面与平面ABC垂直,AC⊥BC,且AC=B...

如图,正方形ACDE边长为1且所在的平面与平面ABC垂直,AC⊥BC,且AC=BC.
(1)求点A到面EBC的距离;
(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小;
(3)求二面角A-E-BC的大小.

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(1)由于正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AC⊥BC,根据面面垂直的性质可得BC⊥平面ACDE,过点A作BC的垂线,垂足为O,则AO即为点A到面EBC的距离,在正方形ABCD中,求得AO即可得出点A到面EBC的距离; (2)连接BM,结合AM⊥平面EBC,说明∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角,解三角形求异面直线AE和PB所成角的余弦值; (3)过A作AH⊥EB于H,连接BM,先证得,∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角,再利用直角三角形中的边角关系求出其正弦值即得. 【解析】 (1)∵正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AC⊥BC, ∴BC⊥平面ACDE, 过点A作BC的垂线,垂足为O,则AO即为点A到面EBC的距离, 在正方形ABCD中,求得AO= 即点A到面EBC的距离为: (2)连接BM,∵AM⊥平面EBC, ∴∠ABM是直线AB与平面EBC所成的角. 设EA=AC=BC=2a,则AM=,,∴, ∴∠ABM=30°,即直线AB与平面EBC所成的角为30°. (3)过A作AH⊥EB于H,连接BM.∵AM⊥平面EBC,∴AM⊥EB. ∴EB⊥平面AHM,∴EB⊥HM,∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角. ∵平面ACDE⊥平面ABC,∴EA⊥平面ABC,∴EA⊥AB. 在Rt△EAB中,AH⊥EB,∴AE•AB=EB•AH. 由(2)所设EA=AC=BC=2a可得,, ∴. ∴.结合图形得∠AHM=60°.即二面角A-EB-C的大小等于60°.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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