Question

设椭圆C：（a＞b＞0）的一个顶点为（0，），F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=，过椭圆右焦点的直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．

Answer

（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，），即b=，e==，所以a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，得（3m2+4）y2+6my-9=0，再由韦达定理和x1x2+y1y2=0，得-12m2-5=0这不可能，所以不存在存在直线l，使得以线段MN为直径的圆过原点．
（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），由|MN|=|x1-x2|==．知=4为定值．
【解析】
（Ⅰ）椭圆的顶点为（0，），即b=，e==，所以a=2，
∴椭圆的标准方程为+=1
（Ⅱ）不存在．设l的方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），则由
得（3m2+4）y2+6my-9=0所以
因为x1x2+y1y2=0⇒（m2+1）y1y2+m（y1+y2）+1=0
即，-12m2-5=0这不可能，所以不存在
（Ⅲ）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），
由（2）可得：|MN|=|x1-x2|==．
由消去y，并整理得x2=，
|AB|=|x3-x4|=4，∴=4为定值．