Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．如果关于x的方程f（x）=k（x-1）恰有三个不同的解，那么实数k的取值范围是（ ）
A．
B．或
C．
D．

Answer

根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可．
【解析】
因为对任意的x∈（0，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2-x
所以f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]．
由题意得f（x）=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）

所以可得k的范围为．
同理作出（]的图象可得k的范围为．
故选D．