Question

已知（1+i）²⁰¹⁰=1+C₂₀₁₀¹•i-C₂₀₁₀²-C₂₀₁₀³•i+…+C₂₀₁₀^k•i^k+…-C₂₀₁₀²⁰¹⁰（其中i为虚数单位），由此可以推断出：C₂₀₁₀¹-C₂₀₁₀³+C₂₀₁₀⁵-…+（-1）^k•C₂₀₁₀^2k+1+…+C₂₀₁₀²⁰⁰⁹=    ．

Answer

观察已知（1+i）2010=1+C20101•i-C20102-C20103•i+…+C2010k•ik+…-C20102010（其中i为虚数单位），右式中含有i的项为：：C20101-C20103+C20105-…+（-1）k•C20102k+1+…+C20102009，左式=（2i）1005=21005  i，根据左右相等即可得到答案．
【解析】
由已知（1+i）2010=1+C20101•i-C20102-C20103•i+…+C2010k•ik+…-C20102010（其中i为虚数单位），
右式中含有i的项为：：C20101-C20103+C20105-…+（-1）k•C20102k+1+…+C20102009，
左式=（2i）1005=21005  i，根据左右相等得：
C20101-C20103+C20105-…+（-1）k•C20102k+1+…+C20102009=21005
故答案为：21005