Question

已知函数f（x）=x³-3|x-a|+λ•sin，其中a，λ∈R；
（1）当a=0时，求f（1）的值并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=0时，若函数y=f（x）的图象在x=1处的切线经过坐标原点，求λ的值；
（3）当λ=0时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer

（1）把所给的a的值代入，要证函数的即偶性，验证x取1和-1时的值，结果不相等，得到函数是一个非奇非偶函数．
（2）对函数求导，写出函数在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1），因为过原点，把（0，0）代入求出λ的值．
（3）写出函数的解析式，对于a的不同值，针对于函数求导，得到函数的单调性和最值，把最小值进行比较得到函数式的最小值．
【解析】
（1）a=0时f（x）=x3-3|x|+λ•sin（π•x）
f（-1）=-4，f（1）=-2，
所以f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1），
所以f（x）时非奇非偶函数
（2）x＞0时，f（x）=x3-3x+λsin（πx），所以f'（x）=3x2-3+λπcos（πx）
所以在x=1处的切线方程为y+2=-λπ（x-1）
因为过原点，所以
（3）当a≤0时，x∈[0，2]上f（x）=x3-3x+3a，f'（x）=3x2-3，
所以f（x）在[0，1]内单调递减，[1，2]递增，所以ymin=f（1）=3a-2
当a≥2时，x∈[0，2]上f（x）=x3+3x-3a，f'（x）=3x2+3＞0，
所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a
当0＜a＜2时，，
当0≤x≤a时，f'（x）=3x2+3＞0，所以f（x）单调递增，ymin=f（0）=-3a
当a≤x≤2时，因f'（x）=3x2-3，所以f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上递增，所以若0＜a≤1，
则ymin=f（1）=3a-2，当1＜a＜2时ymin=f（a）=a3
而0＜a≤1时 3a-2-（-3a）=6a-2，
所以，x∈[0，2]时
同样1＜a＜2，因a3＞-3a，所以ymin=f（0）=-3a
综上：时，ymin=f（1）=3a-2时，ymin=f（0）=-3a