Question

已知抛物线D的顶点是椭圆Q：的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁x₂≠0）是抛物线D上的两个动点，且（Ⅰ）求抛物线D的方程及y₁y₂的值；
（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；
（Ⅲ）求直线与曲线E的最近距离．

Answer

（I）先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，再根据抛物线与椭圆的右焦点相同，得到抛物线的焦点坐标，进而求出p得到抛物线方程；再结合 的对应结论，以及两点在抛物线上即可求出y1y2的值；
（Ⅱ）根据 的对应结论，设出两直线方程；再联立直线OA与抛物线方程求出点A的坐标，同理求出点B的坐标，消去变量k，即可得到线段AB中点轨迹E的方程；
（Ⅲ）求出与直线平行且与曲线E相切的直线方程，再求两平行线之间的距离即可得到结论．
【解析】
（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px
由a2-b2=4-3=1⇒c=1．
∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x（2分）
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，
所以：y12=4x1，y22=4x2，
∴（y1y2）2=16x1x2．
∵ 
∴，
∴x1x2+y1y2=0．
∴=0⇒=0
∵y1y2≠0
∴y1y2=-16．
（Ⅱ）∵∴，
设OA：y=kx，OB：y=-x
由⇒A（）．同理可得B（4k2，-4k）
设AB的中点为（x，y），则由消去k，得y2=2x-8．（10分）
（Ⅲ）设与直线y=x平行的直线x-2y+m=0．
由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切
由消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．
所以△=16-4（2m+8）=0⇒m=-2
∴直线y=x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线与曲线E的最近距离．
所以所求距离为：d==