Question

已知椭圆的离心率为，短轴的长为2．
（1）求椭圆M的标准方程
（2）若经过点（0，2）的直线l与椭圆M交于P，Q两点，满足，求l的方程．

Answer

（1）先根据短轴的长求得b，再根据离心率得出a，c关系，最后根据b=求得a，椭圆的方程可得．
（2）设直线l：y=kx+2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直的坐标公式即可求得k值，从而解决问题．进而l的方程可得．
【解析】
（1）由得a=2（2分）
所以椭圆方程为（4分）
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）设直线l：y=kx+2（5分）
由得（1+4k2）x2+16kx+12=0△=64k2-48＞0①（7分）
②∵
∴x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0③（10分）
由②③解得k=±2满足①所以l：2x-y+2=0或2x+y-2=0（12分）