Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当时，求f（x）的最大值．

Answer

（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）在区间上的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值．令f′（x）=0，求出极值点，判断单调性即可求得最大值
【解析】
（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定义域为（-1，+∞）…（2分），x∈（-1，+∞）…（4分）
由得x＞0…（6分）
所以f（x）递增区间是[0，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）递减区间是（-1，0）．…（9分）
∴f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增．…（11分）
又f（）=，f（e-1）=e2-2，
且e2-2＞．
∴当x∈[时，[f（x）]max=e2-2…（14分）