Question

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用基本不等式即可求得求的取值范围，从而解决问题．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF，再利用斜率公式结合推理，求出Q点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1代入x2=4y得x2-4kx-4=0
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4
所以的取值范围是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）当l平行于x轴时，要使∠AQF=∠BQF，则Q必在y轴上．
设点Q（0，b），由题意得
，
∵，∴
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定点Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）