Question

若x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（Ⅰ）若，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若，求b的最大值；
（Ⅲ）若为函数f（x）的一个极值点，设函数，当时求|g（x）|的最大值．

Answer

（Ⅰ）对f（x）进行求导，根据x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个极值点可知和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，利用韦达定理建立方程组，解之即可；
（Ⅱ）根据条件建立b2关于a的函数关系，然后利用导数研究函数的最值即可求出b的最大值；
（Ⅲ）根据是f（x）的一个极值点求出b与a的等量关系，将函数g（x）用a表示，研究函数|g（x）|在时的最大值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），
∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有和1是方程3ax2+2bx-a2=0的两根
∴解得，∴f（x）=x3-x2-x．（经检验，适合）．（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根，∵x1x2=-＜0且，
∴（x1-x2）2=12．
∴，∴b2=3a2（9-a）
∵b2≥0∴0＜a≤9．
设p（a）=3a2（9-a），则p'（a）=54a-9a2．
由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6．
即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数，
∴当a=6时，p（a）有极大值为324，∴p（a）在（0，9]上的最大值是324，
∴b的最大值为18．（9分）
（Ⅲ）∵是f（x）的一个极值点，
∴，又f'（x）=3ax2+2bx-a2即2b=a-3a2，
∴=
∵，a＞0∴g（x）＜0，则，
即，
∴当时，g（x）有最大值．