Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x，（a＞1，x∈R）．
（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t²）＜0，求实数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ） 判断并证明函数f（x）的奇偶性；
判断奇偶性，先求定义域，看是否关于原点中心对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，再判断f（-x）与f（x）的关系，得出结论．
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）的单调性；
按照定义去判断，取值，作差，变形，判断符号，得出结论．
（Ⅲ）若f（1-t）+f（1-t2）＜0，求实数t的取值范围．
先移项，得f（1-t）＜-f（1-t2），根据奇函数，f（1-t）＜f（t2-1），再根据单调性，求出t的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为函数f（x）的定义域为R，又f（-x）=a-x-ax=-f（x）
所以f（x）是奇函数
（Ⅱ）函数f（x）为R上的增函数．
证明：在R上任取x1＜x2，
则=
=
因为x1＜x2，又a＞1，所以，，
∴f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）为R上的增函数
（Ⅲ）由f（1-t）+f（1-t2）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t2）．
由函数f（x）是奇函数，可得f（1-t）＜f（t2-1）．
又函数f（x）为R上的增函数，所以1-t＜t2-1，即t2+t-2＞0．
解得 t＜-2，或t＞1