Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x）；②对于任意的0≤x₁＜x₂≤2，都有f（x₁）＜f（x₂），③f（x+2）的图象关于y轴对称，则f（4.5），f（6.5），f（7）的大小关系是    ．

Answer

对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），得到函数是一个周期函数T=4，对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2），得到函数在[0，2]上是一个递增函数，根据f（x+2）的图象关于y轴对称，得到f（x）的图象关于x=2对称．
【解析】
∵对任意的x∈R都有f（x+2）=-f（x），
∴函数是一个周期函数T=4，
∵对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）
∴函数在[0，2]上是一个递增函数，
∵f（x+2）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象关于x=2对称，
f（4.5）=f（1.5）
f（6.5）=f（2.5）=f（2）
f（7）=f（3）=f（1）
∵函数在[0，2]上是一个递增函数，
∴f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）
故答案为：f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）．