Question

设函数f（x）=x（lnx+a）-ax²，其中a∈R．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间及极值；
（2）当x≥1时，f（x）≤0，求a的取值范围．

Answer

（1）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．
（2）若f（x）≤0，即x（lnx+a）-ax2≤0，对a进行分类讨论后，综合即可得到答案．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）=xlnx
∴f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当x∈（0，）时，f'（x）＜0，
当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，在x=处取得极大值，且极大值为f（）=-
（2）当x≥1时，f（x）≤0⇔lnx+a-ax≤0．
令g（x）=lnx+a-ax，则．
①当a≥1时，g'（x）≤0，故g（x）
在[1，+∞）是减函数，所以g（x）≤g（1）=0．
②当0＜a＜1时，令g'（x）=0，得．
∵当时，g'（x）＞0，
故当时，g（x）＞g（1）=0，与题意不符．
③当a≤0时，g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）是增函数，从而当x∈（1，+∞）时，
有g（x）＞g（1）=0，与题意不符．综上所述，a的取值范围为[1，+∞）．