Question

国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
（Ⅰ）写出钻石的价值y关于钻石重量x的函数关系式；
（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m=n时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

Answer

（Ⅰ）设价值与重量的关系式为y=kx2；3克拉的钻石价值是54000美元，代入上式，可得k的值，从而得函数关系式．
（Ⅱ）两颗钻石的重量为m、n克拉，原有价值是6000（m+n）2，现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
，化简整理，得其最大值，即钻石价值损失的最大百分率．
【解析】
（Ⅰ）由题意，可设价值与重量的关系式为y=kx2；
∵3克拉的钻石价值是54000美元，∴54000=k•32，解得：k=6000，∴y=6000•x2；
所以，此钻石的价值与重量的函数关系式为y=6000•x2．
（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m、n克拉，则原有价值是6000（m+n）2，
现有价值是6000m2+6000n2；价值损失的百分率为：
=，当且仅当m=n时取等号；
所以，当m=n时，钻石价值损失的百分率最大．