从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3...

从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b²，4b²]，则该椭圆离心率e的取值范围是．

先设出椭圆的标准方程，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，进而可表示出圆的内接矩形长和宽，进而表示出该矩形的面积，由3b2≤2ab≤4b2，求得3b≤2a≤4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式关系，进而求得的范围，即离心率e的范围．【解析】设椭圆的标准方程为+=1，在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2， 3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2， 9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2）， 5a2≤9c2且12 a2≥16 c2， ∴≤≤ 即e∈[，] 故答案为：[，]

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

直角坐标平面内，我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．现有一系列顶点都为整点的等腰直角三角形△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，…，△OA_nB_n，…，其中点O是坐标原点，直角顶点A_n的坐标为（n，n）（n∈N^*，n≥3），点B_n在x轴正半轴上，则第n个等腰直角三角形△OA_nB_n内（不包括边界）整点的个数为．查看答案

设集合M={1，2，3，4，5，6，7，8}，s₁，s₂，…，s_k都是M的含两个元素的子集，且满足对任意的s_i={a_i，b_i}，s_j={a_j，b_j}（i≠j，i，j∈1，2，3，…，k，k∈N^*），都 manfen5.com 满分网

（minx，y表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是．查看答案

数列1，1，2，1，1，3，1，1，1，4，1，1，1，1，5，…，1，…1，n，…的第2011项为．查看答案

设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．查看答案

在集合{1，2，3}中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，则“个位数与十位数不相同”的概率是．查看答案

试题属性

题型：填空题
难度：中等