Question

A是定义在[2，4]上且满足如下两个条件的函数Φ（x）组成的集合：
①对任意的x∈[1，2]，都有Φ（2x）∈（1，2）；
②存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|Φ（2x₁）-Φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|；
（1）设，证明：Φ（x）∈A；
（2）设Φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=Φ（2x），那么，这样的x是唯一的；
（3）设Φ（x）∈A，任取x₁∈（1，2），令x_n+1=Φ（2x_n），n=1，2，…，
证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式成立．

Answer

（1）欲证Φ（x）∈A，即证Φ（x）满足条件的两条：①②．
①对任意，所以φ（2x）∈（1，2）．
②对任意x1，x2∈（1，2），|φ（2x1）-φ（2x2）|利用绝对值不等式的性质得到：0＜L＜1，|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A；
（2）利用反证法证明：先假设存在x，x′∈（1，2），x≠x′，使得x=φ（2x），x′=φ（2x′），
则由条件得出与题设矛盾，故结论成立；
（3）先由|x3-x2|=|φ（2x2）-φ（2x1）|≤L|x2-x1|，所以进一步可得|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|，n∈N*，最后利用放缩法得到证明．
证明：（1）对任意，
于是，（2分）
又，
所以φ（2x）∈（1，2）．
对任意x1，x2∈（1，2），|φ（2x1）-φ（2x2）|
==
由于，
所以，（4分）
令，
则0＜L＜1，|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．（7分）
（2）反证法：设存在x，x′∈（1，2），x≠x′，使得x=φ（2x），x′=φ（2x′），
则由|φ（2x）-φ（2x′）|≤L|x-x′|，
得|x-x'|≤L|x-x'|，所以L≥1，与题设矛盾，故结论成立．（10分）
（3）|x3-x2|=|φ（2x2）-φ（2x1）|≤L|x2-x1|，所以进一步可得|xn+1-xn|≤Ln-1|x2-x1|，n∈N*，（12分）
于是|xk+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|≤Lk+p-2|x2-x1|+LK+P-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|=．（16分）