Question

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 时，求点M的坐标；
（2）求 的最大值；
（3）设点B（0，1），是否存在常数λ及定点H，使得 恒成立？若存在，求出λ的值及点H的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由抛物线的性质可得，F（1，0），设点M（x，y） （x≥0）由  及点M满足y2=4x可求x，y的值，进而可求M
（2）设点M（x，y），其中x≥0．，利用向量的数量积的性质可用x表示 =，利用换元法及二次函数性质可求
（3）设点M（x，y），其中x≥0．假设存在常数λ及定点H（x1，y1），使得恒成立．则由，得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x1，y-y1），从而可求λ及x1，y1
【解析】
（1）由抛物线的性质可得，F（1，0），设点M（x，y）   （x≥0）
∵∴x（x-1）+y2=4①又∵y2=4x②
①②联立可得，x=1，y=±2     即M（1，2）或M（1，-2）
（2）设点M（x，y），其中x≥0.．
设，
则．
因为0＜t≤1，所以当（即x=2）时，取得最大值．
（3）设点M（x，y），其中x≥0．
假设存在常数λ及定点H（x1，y1），使得恒成立．
由，
得（x，y-1）+2（x-1，y）=λ（x-x1，y-y1），【解析】
抛物线y2=4x的焦点F的坐标是（1，0），设点M（x，y），其中x≥0．
因为，
所以，
解得x=1，或x=-4（舍）．
因为y2=4x，所以y=±2，
即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．
即整理得
由x及y的任意性知λ=3，
所以．
综上，存在常数λ=3及定点，使得恒成立．