Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，E，F分别是BC，CD上的点，且BE=CF=3．
（1）求B₁F与平面BCC₁B₁所成角的正切值；
（2）求证：B₁F⊥D₁E．

Answer

（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，连接B1C，则∠FB1C为B1F与平面BCC1B1所成的角，在直角三角形B1CF，求出tan∠FB1C即可；
（2）因为是正方体，又是空间垂直问题，所以易采用向量法，所以建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，欲证B1F⊥D1E，只须证再用向量数量积公式求解即可
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，
连接B1C，则∠FB1C为B1F与平面BCC1B1所成的角，…（4分）
又∠B1CF=90°，CF=3，，
所以、…（6分）
（2）如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则D1（0，0，4），E（1，4，0），F（0，1，0），B1（4，4，4），，，…（11分）
计算得，所以B1F⊥D1E．…（12分）