Question

已知两个动点A，B和一个定点均在抛物线x²=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若成等差数列，且（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求的取值范围．

Answer

（1）由在抛物线x2=2py上，可求p，由成等差数列，可得，利用坐标表示可证
（2）由，即，利用坐标表示及点A，B满足抛物线的方程联立可求
（3）设，则可得，从而有，代入x2=2py，整理得x2-2xx+2x2-3=0，结合方程的性质及，可求
【解析】
（1）在抛物线x2=2py上，所以，所以p=1．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为成等差数列，
所以，所以，所以，
即线段AB的中点在直线上． …（2分）
（2）设AB的中点为M，则，，即，，（x1+x2）（x2-x1）+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）
=0，x22-x12+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）=0，…（4分）
又x12=2y1，x22=2y2，所以2（y2-y1）+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）=0，
依题意，y1≠y2，所以y1+y2-2yQ+2=0，．…（6分）
（3）设，，所以，
代入x2=2py，得x2-2xx+2x2-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x2＞0，即x2＜3，注意到A、B与P不重合，
所以0＜x2＜3，…（8分）
，
结合0＜x2＜3，．即的取值范围为（0，4]．…（10分）