Question

已知数列{a_n}（n∈N₊），a₁=0，a_n+1=2a_n+n×2ⁿ（n≥1）．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，试用数学归纳法证明S_n=2^n-1×（n²-3n+4）-2．

Answer

（1）由an+1=2an+n×2n，知an=2an-1+（n-1）×2n-1，an-1=2an-2+（n-2）×2n-2，2an-1=22an-2+（n-2）×2n-1（3分），…，2n-2a2=2n-1a1+1×2n-1，累加得an．
（2）n=1时，左边=右边，命题成立；设n=k（k∈N+）时，命题成立，即Sk=2k-1×（k2-3k+4）-2（8分），则Sk+1=Sk+ak+1=2k-1×（k2-3k+4）-2+2k-1×k（k+1）=2k（k2-k+2）-22k×[（k+1）2-3（k+1）+4]-2，从而n=k+1时，命题成立．综上所述，数列an的前n项和Sn=2n-1×（n2-3n+4）-2．
【解析】
（1）由an+1=2an+n×2n得an=2an-1+（n-1）×2n-1，
an-1=2an-2+（n-2）×2n-2（1分），
2an-1=22an-2+（n-2）×2n-1（3分），…，2n-2a2=2n-1a1+1×2n-1，
累加得an=[（n-1）+（n-2）+…+1]×2n-1=2n-2×n（n-1）（5分）．
（2）n=1时，左边S1=a1=0，
右边2n-1×（n2-3n+4）-2=1×（1-3+4）-2=0，
左边=右边，命题成立（7分）；
设n=k（k∈N+）时，命题成立，
即Sk=2k-1×（k2-3k+4）-2（8分），
则Sk+1=Sk+ak+1（9分），
=2k-1×（k2-3k+4）-2+2k-1×k（k+1）=2k（k2-k+2）-22k×[（k+1）2-3（k+1）+4]-2，
从而n=k+1时，命题成立（11分）．
综上所述，数列an的前n项和Sn=2n-1×（n2-3n+4）-2（12分）．