Question

已知函数f（x）=a-，（a∈R）．
（1）若f（x）是奇函数，求a的值；
（2）判断f（x）在定义域上的单调性，并证明；
（3）要使f（x）≧0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）是R上的奇函数所以f（x）+f（-x）=0求得．
（2）在定义域上任取两个变量，且界定大小再作差变形看符号．
（3）由f（x）≥0恒成立，可转化为恒成立，再求得∵从而有a≥2．
【解析】
（1）因f（x）是R上的奇函数
．所以f（x）+f（-x）=0
所以过原点．a=1．
（2）定义域为R
设x1，x2∈R且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）
=
=
=
∵y=2x为增函数，且x2＞x1，
∴而分母大于0恒成立
∴f（x2）-f（x1）＞0∴f（x2）＞f（x1）
故f（x）是R上的增函数
（3）由f（x）≥0恒成立，可得恒成立
∵要使其恒成立，只需a≥2