Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n-1，a₁=3，
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式和前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）依题意有an+1-1=2an-2可得，，从而可得数列{an-1}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得an=2n+1，利用分组求和及等差数列的前n项目和公式可求
【解析】
（Ⅰ）依题意有an+1-1=2an-2且a1-1=2，
所以
所以数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an-1=（a1-1）2n-1，
即an-1=2n，所以an=2n+1
而Sn=a1+a2+…+an=（2+1）+（22+1）+（22+1）+…+（2n+1）=（2+22+22+…+2n）+n==2n+1-2+n．