Question

已知椭圆C：．
（1）双曲线与椭圆C具有相同的焦点，且它们的离心率互为倒数，求双曲线的方程；
（2）设椭圆C的右焦点为F₂，A、B是椭圆上的点，且，求直线AB的斜率．

Answer

（1）根据椭圆方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得双曲线的焦点坐标和离心率，求得双曲线的长半轴和短半轴的长，进而可得双曲线的方程．
（2）设A（x1，y1），由得出B的坐标表示，再由A，B两点在椭圆上，得出关于x1，y1的方程，解得x1，y1最后利用直线的斜率公式即可．
【解析】
（1）由已知，椭圆的焦点坐标为（-1，0），（1，0），离心率为，
所以所求双曲线焦点坐标为（-1，0），（1，0），离心率为2，…（2分）
双曲线，解得，
所求双曲线方程为．…（4分）
（2）设A（x1，y1），由得，…（5分）
由A，B两点在椭圆上，得，，…（8分）
解得，，…（10分）
所以．…（12分）