Question

设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁，F₂为焦点，离心率为的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的斜率；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）由椭圆C2的离心率为，长半轴长为2，即可求出a，b，c的值，进而求出抛物线交点坐标，抛物线方程也就能求出．
（2）在（1）的条件下，可求出椭圆方程，这样，焦点三角形△PF1F2的周长可知，也即|A1A2|．再利用弦长公式即可．
（3）先假设存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，因为中间线段长度为2m，所以，最短线段长度为2m-1，再用抛物线定义即可求出．
【解析】
（1）∵椭圆C2的离心率为，长半轴长为2，∴，
∵物线C1：y2=4mx（m＞0）的焦点为椭圆右焦点，∴=1，∴抛物线方程y2=4x
（2）由（1）可知，椭圆方程为，所以△PF1F2的周长为2a+2c=6．
①当直线l斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），代入y2=4x，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=2+，x1x2=1，
∴|A1A2|==+-5=0，解得，k=±．
②当直线l斜率不存在时，A1点坐标为（1，）A2（1，-），∴|A1A2|=2≠6，不成立．
综上，直线l的斜率为．
（3）由题意可知，椭圆中c=m．椭圆C2离心率为，∴a=2c．
∴椭圆方程为由，得P点横坐标为，在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a=4m，
|F1F2|=2m，∴|PF2|，|F1F2|，|PF1|成等差数列，
假设存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，则PF2|=|F1F2|-1=2m-1，又因为P在抛物线上，
∴|F1F2|=+m，∴m=3