Question

在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设P（x，y  ）由题意可得，，y≠0，整理可得点P得轨迹方程
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，设M（x1，y1）N（x2，y2）
则△=（16k）2-4×（1+4k2）×12≥0可得，，（*）
由可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得从而可求
【解析】
（1）设P（x，y  0，由题意可得，，y≠0
整理可得点P得轨迹方程为（y≠0）
（2）设过点D（0，2）得直线方程为y=kx+2
联立方程整理可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
设M（x1，y1）N（x2，y2）
则△=（16k）2-4×（1+4k2）×12≥0⇒
，
且
设M（x1，y1）N（x2，y2）
则△=（16k）2-4×（1+4k2）×12≥0⇒
，（*）
由可得，x1=λx2代入到（*）式整理可得
可得，解可得且λ≠1
又因为直线MN过点（2，0），（-2，0），时
所以可得，