Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

Answer

（1）由于曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变，所以其轨迹是椭圆，求方程先建立坐标系，从而可求；
（2）先假设线段QA中点的坐标P，利用中点坐标公式得出P，Q坐标之间的关系，再结合（1）求出线段QA中点的轨迹方程；
（3）由于直线CM和CN的倾斜角互补，所以可设直线CM和CN的斜率分别为k，-k，再结合M，N是曲线E上不同的两点，可知直线MN的斜率是定值；
（4）利用极限位置考虑：当直线DM和DN的倾斜角都为90°时，直线MN即为D'（a，-b）处的切线．
【解析】
（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．
∵|CA|+|CB|=4[（1分）]
不难知道：曲线E是以A，B为两焦点、长轴长为4的椭圆．
故曲线E的方程为，
（2）设线段QA的中点为P（x，y），∵A（-1，0），
∴Q（2x+1，2y）[（5分）]
∵点Q在曲线E上，故可得：[（7分）]
即线段QA中点的轨迹方程为[（8分）]
（3）设直线CM和CN的斜率分别为k，-k
直线CM的直线方程为
代入曲线E的方程，得[（9分）]
由韦达定理：，
∴
同理[（10分）]
而，
∴
故直线MN的斜率为定值[（12分）]
（4）设D（a，b），当直线DM和DN的倾斜角都为90°时，直线MN即为D'（a，-b）处的切线，则直线MN的斜率为定值