Question

如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O₁经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O₂经过点C，D，交
AC于另一点F，⊙O₁与⊙O₂交于点G．
（1）求证：∠EAG=∠EFG；
（2）若⊙O₂的半径为5，圆心O₂到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O₂于G，求线段AG的长．

Answer

（1）连接两个圆的公共弦GD，然后根据圆内接四边形的性质，易得AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，即∠AEG+∠AFG=180°，再由圆内接四边形的判定定理，易得A，E，G，F四点共圆，进而再由圆周角定理的推论得到：∠EAG=∠EFG；
（2）由已知中⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，由垂径定理，我们可以求出FC的长，结合AC=10，AG切⊙O2于G，由切割线定理，我们易求出AG的长．
【解析】
（1）连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，⊙O2，
∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，
又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°．
即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG．
（2）因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，
所以由垂径定理知FC=2=8，又AC=10，
∴AF=2，∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF•AC=2×10=20，AG=2．