Question

已知数列{a_n}中，，且当时，函数取得极值．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{b_n}满足：b₁=2，，证明：是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式通项及前n项和S_n．

Answer

（I）由当时，函数取得极值，先求出函数的导数，得
f′（x）=an•x-an+1，再由x=2时，导数为0得，进而用等比数列的通项公式去求．
（Ⅱ）可通过证明数列的后一项减前一项是同一常数，来证明明数列是等差数列．再用错位相减法求和．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=an•x-an+1（1分）
由题意得（3分）
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，∴（5分）
（Ⅱ）由（1）知bn+1-2bn=2n+1，∴bn+1=2bn+2n+1
∴
∴是以1为首项，1位公差的等差数列（7分）
∴，∴bn=n•2n（8分）
Sn=1•2+2•22++n•2n，2Sn=1•22++（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减得：-Sn=2+22++2n-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2（11分）
∴Sn=（n-1）•2n+1+2（12分）