Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，是函数f（x）=a_n-1x²-3a_n+a_n+1 （n≥2）的一个零点．
（1）证明{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和S_n；
（3）是否存在指数函数g（x），使得对任意的正整数n，有成立？若存在，求出满足条件一个g（x）；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由是函数f（x）=an-1x2-3an+an+1 （n≥2）的一个零点，得2an-1-3an+an+1=0，即an+1-an=2（an-an-1）
从而得到{an+1-an}是公比为2的等比数列，由累差法易得an=2n
（2）由sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n得2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
 再由错位相减法易得Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证或用放缩法证明．在用放缩法时主要利用2n+1＞3，2n+1+1＞5进行放缩．
【解析】
（1）∵是函数f（x）=an-1x2-3an+an+1 （n≥2）的一个零点，
∴2an-1-3an+an+1=0，即an+1-an=2（an-an-1）
∴{an+1-an}是公比为2的等比数列，即an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n，由累差法易得an=2n
（2）sn=1•2+2•22+3•23+…+（n-1）2n-1+n•2n
2sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）2n+n•2n+1
错位相减得，-sn=1•2+•22+•23+…+2n-n•2n+1
∴Sn=（n-1）2n+1+2；
（3）存在，例如g（x）=2x，用裂项法求和易得证．
或用放缩法证明：
设g（k）=ak，a＞0且a≠1，
当时，显然有 ，故存在这样的指数函数