Question

如图，在三棱锥A-BOC中，AO⊥底面BOC，∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，，动点D在线段AB上．
（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）当点D运动到线段AB的中点时，求二面角D-CO-B的大小；
（Ⅲ）当CD与平面AOB所成角最大时，求三棱锥C-OBD的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证平面COD⊥平面AOB，根据面面垂直的判定定理可知在平面COD内一直线与平面AOB垂直，根据勾股定理可知OC⊥OB，根据线面垂直的判定定理可知OC⊥平面AOB，而OC⊂平面COD，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据OC⊥OB，OC⊥OD，可知∠DOB是二面角D-CO-B的平面角，在三角形DOB中求出此角即可；
（Ⅲ）根据线面所成角的定义可知∠CDO是CD与平面AOB所成角，然后表示出此角的正切值，再根据正切函数的单调性知，当OD最小时，∠CDO最大，最后根据三棱锥的体积公式求出所求即可．
【解析】

（Ⅰ）证明：∵AO⊥底面BOC，∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=4，∴OC=OB=2．（2分）
∵，∴OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB．（4分）
∵OC⊂平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．（5分）
（Ⅱ）：由（Ⅰ）知OC⊥平面AOB，
∴OC⊥OB，OC⊥OD，
∴∠DOB是二面角D-CO-B的平面角．（7分）
∵D为AB的中点，∴OD=2，BD=2，
又OB=2，∴∠DOB=60°，
∴二面角D-CO-B的大小为60°．（9分）
（Ⅲ）：∵OC⊥平面AOB，CD交平面AOB于D，
∴∠CDO是CD与平面AOB所成角．（10分）
tan∠CDO=，据正切函数的单调性知，当OD最小时，∠CDO最大，
∴取OD⊥AB，OD=为最小值，此时，BD=1．（12分）
∴VC-OBD=．
即CD与平面AOB所成角最大时，三棱锥C-OBD的体积为．（14分）